[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.3.30 \(\int (c (d \sec (e+f x))^p)^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx\) [230]

Optimal. Leaf size=106 \[ -\frac {F_1\left (n p;\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m;1+n p;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) \left (c (d \sec (e+f x))^p\right )^n (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f n p \sqrt {1-\sec (e+f x)}} \]

[Out]

-AppellF1(n*p,1/2-m,1/2,n*p+1,-sec(f*x+e),sec(f*x+e))*(c*(d*sec(f*x+e))^p)^n*(1+sec(f*x+e))^(-1/2-m)*(a+a*sec(
f*x+e))^m*tan(f*x+e)/f/n/p/(1-sec(f*x+e))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.13, antiderivative size = 106, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 4, number of rules used = 4, integrand size = 27, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.148, Rules used = {4033, 3913, 3912, 138} \begin {gather*} -\frac {\tan (e+f x) (\sec (e+f x)+1)^{-m-\frac {1}{2}} (a \sec (e+f x)+a)^m F_1\left (n p;\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m;n p+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) \left (c (d \sec (e+f x))^p\right )^n}{f n p \sqrt {1-\sec (e+f x)}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

-((AppellF1[n*p, 1/2, 1/2 - m, 1 + n*p, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(1 + Sec[e + f*x
])^(-1/2 - m)*(a + a*Sec[e + f*x])^m*Tan[e + f*x])/(f*n*p*Sqrt[1 - Sec[e + f*x]]))

Rule 138

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^n*e^p*((b*x)^(m +
 1)/(b*(m + 1)))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*(x/c), (-f)*(x/e)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
 x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rule 3912

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[a^2*d
*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]])), Subst[Int[(d*x)^(n - 1)*((a + b*x)^(m -
 1/2)/Sqrt[a - b*x]), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 3913

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[a^Int
Part[m]*((a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m]/(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])^FracPart[m]), Int[(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])^
m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rule 4033

Int[((c_.)*((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
 :> Dist[c^IntPart[n]*((c*(d*Sec[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Sec[e + f*x])^(p*FracPart[n])), Int[(a + b*Sec[e
+ f*x])^m*(d*Sec[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin {align*} \int \left (c (d \sec (e+f x))^p\right )^n (a+a \sec (e+f x))^m \, dx &=\left ((d \sec (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sec (e+f x))^p\right )^n\right ) \int (d \sec (e+f x))^{n p} (a+a \sec (e+f x))^m \, dx\\ &=\left ((d \sec (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sec (e+f x))^p\right )^n (1+\sec (e+f x))^{-m} (a+a \sec (e+f x))^m\right ) \int (d \sec (e+f x))^{n p} (1+\sec (e+f x))^m \, dx\\ &=-\frac {\left (d (d \sec (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sec (e+f x))^p\right )^n (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {(d x)^{-1+n p} (1+x)^{-\frac {1}{2}+m}}{\sqrt {1-x}} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)}}\\ &=-\frac {F_1\left (n p;\frac {1}{2},\frac {1}{2}-m;1+n p;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) \left (c (d \sec (e+f x))^p\right )^n (1+\sec (e+f x))^{-\frac {1}{2}-m} (a+a \sec (e+f x))^m \tan (e+f x)}{f n p \sqrt {1-\sec (e+f x)}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B] Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(2425\) vs. \(2(106)=212\).
time = 14.54, size = 2425, normalized size = 22.88 \begin {gather*} \text {Result too large to show} \end {gather*}

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a + a*Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2
)^(-1 + n*p)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n*p)*(c*(d*Sec[e + f*x])^p)^n*(a*(1 + Sec[e + f*x]))^m*Tan
[(e + f*x)/2])/(f*(3*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 +
n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n*p)*AppellF1[3/2, 1
 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((3*2^m*AppellF1[1/2,
m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(n*p)*(Cos[(e + f*x)/2]^2
*Sec[e + f*x])^(m + n*p))/(3*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2
*((-1 + n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n*p)*AppellF
1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)
*(-1 + n*p)*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)
^(-1 + n*p)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n*p)*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p,
 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n*p)*AppellF1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(
e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n*p)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e +
 f*x])^(m + n*p)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1/3*((1 - n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + ((m + n*p)*AppellF1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2,
Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, m + n*p, 1
- n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n*p)*AppellF1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]
^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n*p)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n*p)*Tan[(e +
f*x)/2]*(2*((-1 + n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n*
p)*AppellF1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(
e + f*x)/2] + 3*(-1/3*((1 - n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]
*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + ((m + n*p)*AppellF1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-1 + n*p)*((-3*(2 - n*
p)*AppellF1[5/2, m + n*p, 3 - n*p, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f
*x)/2])/5 + (3*(m + n*p)*AppellF1[5/2, 1 + m + n*p, 2 - n*p, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec
[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (m + n*p)*((-3*(1 - n*p)*AppellF1[5/2, 1 + m + n*p, 2 - n*p, 7/2, Tan[(
e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(1 + m + n*p)*AppellF1[5/2, 2
+ m + n*p, 1 - n*p, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/(
3*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n*p)*AppellF1[3/2,
m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n*p)*AppellF1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p
, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (3*2^(1 + m)*(m + n*p)*AppellF1[1/2,
m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n*p)*(Cos[(e + f*x)
/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1 + m + n*p)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(
e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*AppellF1[1/2, m + n*p, 1 - n*p, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n*p)*AppellF1[3/2, m + n*p, 2 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (
m + n*p)*AppellF1[3/2, 1 + m + n*p, 1 - n*p, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2
)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]
time = 0.19, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \left (c \left (d \sec \left (f x +e \right )\right )^{p}\right )^{n} \left (a +a \sec \left (f x +e \right )\right )^{m}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c*(d*sec(f*x+e))^p)^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x)

[Out]

int((c*(d*sec(f*x+e))^p)^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Failed to integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sec(f*x+e))^p)^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(((d*sec(f*x + e))^p*c)^n*(a*sec(f*x + e) + a)^m, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sec(f*x+e))^p)^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(((d*sec(f*x + e))^p*c)^n*(a*sec(f*x + e) + a)^m, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \left (a \left (\sec {\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{m} \left (c \left (d \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{p}\right )^{n}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sec(f*x+e))**p)**n*(a+a*sec(f*x+e))**m,x)

[Out]

Integral((a*(sec(e + f*x) + 1))**m*(c*(d*sec(e + f*x))**p)**n, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sec(f*x+e))^p)^n*(a+a*sec(f*x+e))^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(((d*sec(f*x + e))^p*c)^n*(a*sec(f*x + e) + a)^m, x)

________________________________________________________________________________________

Mupad [F]
time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \begin {gather*} \int {\left (c\,{\left (\frac {d}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^p\right )}^n\,{\left (a+\frac {a}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^m \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c*(d/cos(e + f*x))^p)^n*(a + a/cos(e + f*x))^m,x)

[Out]

int((c*(d/cos(e + f*x))^p)^n*(a + a/cos(e + f*x))^m, x)

________________________________________________________________________________________

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